XI/ Genap/ BAB 1 LINGKARAN/ Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran dapat diperoleh dengan menjabarkan rumus persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r.

Jika dimisalkan:

maka diperoleh persamaan umum lingkaran:

XII/ Genap/ BAB 1INTEGRAL/ Sifat Integral

Sifat Integral

Contoh:
Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut dengan menerapkan sifat-sifat integral!

Soal Latihan
Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut dengan menerapkan sifat-sifat integral!

XII/ Genap/ BAB 1INTEGRAL/ Integral Tentu

Integral Tentu
Luas suatu bidang dengan bentuk tertentu (seperti: lingkaran, segitiga, segiempat, dll) dapat ditentukan dengan rumus-rumus dasar yang sudah diketahui. Namun, untuk menentukan luas suatu bidang yang tidak beraturan atau tidak tentu akan sulit. Lihatlah gambar di bawah yang merupakan luasan area dibawah grafik y = f(x) yang dibatasi oleh x = a, x = b, dan garis x. Luas area tersebut hampir mendekati dengan luas dari total 11 segi panjang.

Jika jumlah segi panjang diperbanyak 21 buah seperti gambar dibawah, maka jumlah total luas persegi panjang tersebut semakin mendekati luas area grafik yang ditentukan. Sehingga untuk mendapatkan luas area tersebut, jumlah persegi panjang dibuat mendekati tak hingga. Dapat disimpulkan luas dari area sama dengan limit luas total segi panjang menuju tak hingga.

Konsep ini menjadi dasar untuk mencari luas suatu bidang tak tentu. Luas suatu bidang di bawah grafik y = f(x) yang dibatasi oleh x = a, x = b dapat dicari dengan mengintegralkan fungsi tersebut pada selang a≤x≤b. Atau dapat ditulis:

Pengoperasian integral tentu sama dengan intergral tak tentu hanya saja nilai a dan b disubstitusikan dalam fungsi hasil integral sebagai berikut:

Contoh:

XI/ Genap/ BAB 1 LINGKARAN/ Lingkaran Pusat (0,0) jari-jari r

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat Di Titik P(0,0) Dan Berjari-jari r

Persamaan lingkaran dengan pusat P(0,0) dan jari-jari r dibentuk dari persamaan sebelumnya dengan mengganti nilai a dan b menjadi 0.

Sehingga akhirnya diperoleh bentuk persamaan lingkaran dengan pusat di titik P(0,0) dan berjari-jari r adalah:

Contoh Soal:
(1)Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik P(0,0) dan berjari-jari 4!
Penyelesaian:

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat di titik P(0,0) dan berjari-jari 4 adalah

(2)Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik P(0,0) dan berjari-jari 3!
Penyelesaian:

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat di titik P(0,0) dan berjari-jari 3 adalah

XI/ Genap/ BAB 1 LINGKARAN/ Lingkaran Pusat (a,b) jari-jari r

Persamaan Lingkaran
Lingkaran atau bisa disebut sebagai segi-tak hingga dalam bidang geometri. Dalam bidang kartesius, lingkaran adalah kumpulan tak hingga titik-titik yang berjarak sama dengan satu titik tertentu. Titik tertentu yang sebagai acuan disebut titik pusat lingkaran dan jarak dari setiap titik ke titik pusat tersebut disebut sebagai jari-jari. Jari-jari biasanya dinotasikan sebagai r.

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat Di Titik P(a,b) Dan Berjari-jari r
Persamaan lingkaran dibentuk dari titik pusat dan jari-jari lingkaran tersebut. Berikut akan kita bahas bagaimana konsep persamaan lingkaran.
i) Misalkan ada lingkaran pada koordinat kartesius dengan pusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r kita pilih satu titik Q(x1,y1) yang terletak pada lingkaran.

Sehingga terbentuk segitiga PQ'Q. Karena segitiga PQ'Q siku-siku maka berlaku teorema Pythagoras

ii) Sekarang kita pilih satu titik lain yang terletak pada lingkaran misalkan U(x2,y2).

Sehingga terbentuk segitiga U'PU. Karena segitiga U'PU siku-siku maka berlaku teorema Pythagoras

Karena dikuadratkan maka bentuk persamaan bisa dirubah menjadi

iii) Dengan cara yang sama akan diperoleh persamaan untuk titik-titik yang lainnya pada lingkaran tersebut. Sehingga akhirnya dapat diperoleh bentuk persamaan yang berlaku untuk semua titik (x,y) pada lingkaran dengan pusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r adalah:

XII/ Genap/ BAB 1INTEGRAL/ Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu Integral
tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Untuk dapat memahami konsep integral perhatikanlah contoh berikut ini:

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu y'= 3x2. Fungsi dengan variabel x3 ataupun x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) memiliki turunan yang sama. Jika turunan tersebut diintegralkan, seharusnya adalah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat ditulis: f(x) = y = x3 + C dengan nilai C bisa berapapun. Notasi C ini disebut sebagai konstanta integral. Sehingga jika diketahui F^' (x)=f(x) maka integral dari f(x) adalah F(x). Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Rumus integral aljabar diperoleh:

dengan syarat n≠1. Contoh: